導熱油爐的數學模擬

汪琦

（上海熱爐油／熱風爐／熱水爐／熔鹽爐設計開發中心  上海  200042）

摘  要：介紹零維模型、一維模型、二維模型、三維模型，并以基本微分方程組描述了工業爐內的流體流動、化學反應、燃料燃燒及傳熱的現象，建立起綜合描述工業爐內各種過程的數學模型，利用數值方法求解。

關鍵詞：導熱油爐；流體流動；化學反應；燃料燃燒；傳熱；數學模型

一、前言

工業爐的設計以往主要靠直觀和經驗以及大量實驗，并且通過大型試驗的方法來促使爐子的性能優化，這樣要耗費大量的人力、物力、財力和時間。隨著大型計算機以及計算流體力學、計算傳熱學和計算機燃燒學的迅速發展，建立起描述工業爐所用的數學模擬方法。一個成功的數學模型具有很大的經濟意義。它可以預報尚未建造的設備性能，可使新設計的爐子采用最佳的設計參數，可以尋找最佳的運行方式等。

數學模型的應用正日益增加，隨著熱負荷的增大，爐子費用昂貴，并要求盡量提高其效率，而模型計算的能力正在增大；因此，擴大數學模型的應用在經濟上是合算的。當然，要得到廣泛的應用首先要通過實驗證明所用的數學模型是確實可靠的。

二、數學模型

按照數學模型的復雜程度和應用場合可分為零維、一維、二維和三維幾類模型。

1．零維模型

零維模型的特點是假定爐膛內煙氣的溫度和組成是均勻的，爐壁的溫度雖然與煙氣不同，但也是均勻的；而所謂組成是均勻的是指燃燒是完全的，爐膛中的組成成分處于局部的平衡狀態。煙氣的溫度用流動煙氣的焓值變化與傳遞給爐壁的熱流相平衡的簡單代數方程來求解。

零維模型由于計算簡單，已經進行了大量的研究工作，也具有相當的精確度，因此，直到現在仍然是工程設計的主要方法。這種模型能決定總傳熱量與燃料、空氣輸入量的函數關系，但未考慮爐內流動與火焰性質的空間與時間變化。

所有這些性質的三個坐標方向上的分布均假定為均勻的，也就是速度、溫度與焓等物理量的梯度為零。從而在許多情況下，能算出運行參量對爐膛總體性能影響的正確趨勢，可由于實際的溫度和組成是不均勻的，當爐內流動情況與零維模型假定的差別加大時此方法的精度惡化。因此，從現代的要求來看，零維模型已經不能滿足計算要求。

2．一維模型

一維模型是假定爐膛內煙氣的溫度和組成沿火焰行程方向是變化的，而在截面上的變化則認為很小可以忽略，從而建立煙氣溫度沿火焰行程變化的常微分方程。如果給受熱面的傳熱假定僅是發生在垂直于氣流的方向，則微分方程式是一階的。如果采用某些簡化的方式來考慮沿縱向的傳熱，則微分方程成為二階的。有時爐膛內的過程隨著時間的變化超過隨距離的變化；然而，這可以看作是由于沿爐子通道進入混合物的質點變化所引起的，通常提出的描寫方式是化學物質的反應隨時間的變化，而在數學上，這可用相當的沿著空間距離的變化來描述；因此，可得出同樣的一階微分方程。有縱向輻射時則就不能按這樣的方式來處理。

一維模型考慮了流動與火焰性質的一維變化，從而比零維模型更為接近實際。在大型爐子中，通常要求知道沿爐子長度方向上的熱流與溫度分布。這意味著沿火焰軸線存在著顯著的梯度，而另外兩個坐標方向上的梯度則可忽略不計。這一假定適用于爐膛長度比其寬度和深度要大得多的那些爐子，從此爐子被分為橫截面上為均勻性質的各段。

這種模型限用于無氣體回流的流動，并假定燃燒器出口已完全燃燒。一維模型在工程設計中是使用得不太多的，其主要原因還是由于與實際情況的差別太大；但一維模型在數學模型的發展中則是起了作用的。

3．二維模型

二維模型用于軸向對稱的爐膛，其壁溫或熱流沿軸向是變化的。假定流動是穩定的，爐膛內煙氣的組成和溫度沿軸向和在對稱軸的垂直距離上均是變化的，這時可用微分方程進行分析。這一模型與一維模型在數學和物理上都是不同的。

在物理上，由于沿氣流的橫截面上不再是均勻的，必須引入不同形式的控制實際有限的混合率的定律。如果是層流，則導熱、擴散、粘性作用的定律，以及有關的流體性質的知識全都是必須的；而在幾乎所有的實際情況中，流動是紊流。則又必須引入計算紊流度及其對火焰發展影響的問題。

在數學上分成兩類，第一類使用拋物線微分方程描寫的，相應于沒有軸向再循環的流動，因而在此方向上沒有明顯的導熱和輻射的交換，用單進口積分法從爐子的進口到出口求解。第二類是用橢圓微分方程描寫的，用于有軸向再循環或明顯的縱向熱交換的情況，由于這種影響，使得接近爐膛出口處的煙氣特性，而這直到積分前沿達到它時還是未知的，卻對進口處有某些影響。因此，對于這種模型，必須采用迭代法求解。

由于有許多實際的燃燒系統是軸向對稱形式的，因此，二維數學模型在正確地預報它們的傳熱和燃燒性能方面具有良好的前景。Hottel提出了求解二維計算問題的一個數學方法，即用于輻射傳熱計算的方法。把爐膛空間分成一組子容積，把周圍的爐壁分成一組子面積，然后提出了計算所有這些容積和面積單元之間輻射熱交換的方法，稱為區域法。

4．三維模型

有許多爐子不是軸向對稱形的，最典型的是電站鍋爐，一般是箱形的，燃料和空氣從布量在壁上的各種燃料器噴入爐膛。對這種爐子，要描寫其燃料空間的溫度和組成的分布，必須應用三度空間的坐標。由于維數的增加，又在數學和物理方面帶來新的特點。例如在二維流動中所使用的流動結構在三維流動中就不合適了，必須重新建立。

在物理方面，由于維數的增加，使得必須考慮紊流特性數以及它們之間相互作用數的增加。這種模型能求解表示質量、動量、能量與組分守恒的聯立偏微分方程；并用表示流動的湍流特性、反應特性與傳熱的近似模型，對這些方程加以補充。

各類模型的輸入與輸出信息見表1。

表1  各類模型的輸入與輸出信息

三、基本微分方程組

1．質量守恒方程（連續方程）

其中P為密度，t為時間，U為速度矢量。式（1）表示質量進入單位體積的凈流率等于密度的增加率。

2．動量守恒方程

其中u為速度，u為粘度，p為壓力，Bx為x方向上單位體積的體積力，Vx表示除d iv（u?gradu）以外的那些粘性項，式（2）表示單位體積的x方向動量的增加率等于x方向動量進入此單位體積的凈流率加上作用于該單位體積的凈力。

3．化學組分守恒方程

4．能量守恒方程

其中h為滯止比焓，λ為導熱系數，Cp為定壓比熱，Sh為容積熱源產生率，Sh﹦Srad +S，Srad為輻射能源項，S為其他能源項。式（4）表示單位容積流體在單位時間內的內能加動能的增加率等于滯止焓流入的凈速率，加上由于燃料燃燒產生的能量和由于輻射傳遞的熱量之和。

由于上述微分方程只是表達流體質點在某一時刻的不定常湍流運動；因此，必須對各參數進行時間平均的處理（時均化），即將式（1）~（4）的瞬時速度、密度、質量分率及焓等分解它們的時間平均分量與脈動分量，成為雷諾分解。

經雷諾分解后的時平均守恒方程的形式與基本微分方程組的形式幾乎一樣，只是用變量的時均值代替了變量的瞬時值；并且增加了一些變量的脈動量的乘積項。脈動量乘積項的出現使得時平均方程的數目少于這些方程所包含的未知數的數目，從而方程組不能封閉，無法求解。因此，為了求解這套時平均方程組，要求對附加的脈動量乘積項進行數值模擬，不同的模擬方案就構成了不同的模型，需要模擬的過程有湍流流動、湍流燃燒、輻射傳熱過程。

四、湍流模型

1．湍流動能方程（k方程）

2、湍流動能耗散速率方程（ε方程）

其中ε為湍流動能耗散率，σε為ε的Prandtl―Schmidt常數，Sε為ε方程的源項，Sε﹦p（C1 G―C2 ε）, C1和C2為常數。

五、燃燒模型

燃燒是一種伴隨著劇烈放熱化學反應的流動過程，它包含流體流動、傳熱。傳質和化學反應諸過程以及它們之間的相互作用，所以是一個極其復雜的過程。在工業爐中，一般的燃燒過程多屬于湍流燃燒。根據燃料的種類和燃燒方式（預混或不預混）等有很多的燃燒模型。

1．擴散火焰的快速化學反應模型

模型一：這是最簡單的一種，它假定化學反應速度無限快，燃料和氧化物在任何地點不共存，反應為一步不可逆反應，所有擴散系數都相等。

時均的混合分率f的守恒方程為﹕

式中of為f的湍流Pradtl―Schmidt常數。

模型二﹕通過大量的實驗研究表明，在分析湍流火焰時，僅考慮湍流的輸運特性是不夠的，必須考慮湍流的脈動特性對火焰的影響。由于存在著湍流脈動所以在同一地點，但在不同時刻，燃料與氧化物可以共存。這一論點與模型一的燃料與氧化物在任何地點不共存的論點是不矛盾的。因為，模型一中指的是燃料與氧化物的瞬時值，模型二中指的是平均值。

濃度脈動g的局部值可由下列相應的守恒方程得出：

2．預混火焰的有限化學反應速率模型

模型三：旋渦破碎模型（EBU）認為在湍流燃燒區充滿了已燃起團和為燃氣團，化學反應在這兩種氣團的交界面上發生，認為平均化學反應率決定于為燃氣團在湍流作用下破碎成更小氣團的速率，而破碎速率與湍流脈動動能的衰變速率正成比，其表達式為：

式中CR為常數。

六、輻射傳熱模型

1．區域法

對任一面區的傳熱速率與熱平衡方程為：

式中等號左邊的第一個Σ項表示所有的表面區對某一指定的表面區i的輻射產熱速率，第二個Σ項表所有的氣體區對定的表面區i的輻射傳熱速率，第三項表示表面區i自身向外的輻射率，第四項表示與表面區i相接處的氣體區對表面區i的對流傳熱速率，等號右邊的項表示表面區i的受熱速率。

對任一氣體區的傳熱速率方程和受熱平衡方程為：

式中等號左邊的第一個ε項表示所有的氣體區對某一指定的氣體區i的輻射傳熱速率；第二個ε項表示所有的表面區對氣體區i的輻射傳熱速率；第三個ε項表示氣體區i自身向外的輻射速率，其中mi表示用幾個灰氣體擬真實的氣體；第四項表示與表面區i相接觸的氣體區對表面區i的對流傳熱速率；第五項表示氣體區i中燃料的發熱速率（如果該去中沒有燃料，則Qf﹦o）,等號右邊的項表示由于煙氣進出氣體區i，氣體區i焓的差值，它等于離開i區的焓減去進入i區的焓。

分別為表面區對表面區、氣體區對表面區、氣體區對氣體區、表面區對氣體區的定向通量面積，均具有面積的因次，Es、Eg分別為表面區、氣體區的黑體輻射能力、A為表面區的面積，ε為表面區的黑度，h為對流放熱系數，Tg、Ts分別為氣體區、表面區的溫度，ag為加權因子，是考慮真實氣體與灰氣體差別的因子，K為灰氣體的吸收系統。

2．蒙特卡洛法

對任一表面區的傳熱速率與熱平衡方程為：

式中等號左邊的第一項表示表面區（i,j,k）接受的輻射傳熱速率，第二項表示氣體區以對流方式傳給表面區（i,j,k）的能量率，第三項表示表面區（i,j,k）自身向外輻射率，等號右邊的項表示表面區（i,j,k）的輻射熱流量的速率。

對任一氣體區的傳熱速率方程和熱平衡方程為：

式中等號左邊的第一項表示氣體區（i。j,k）接受的輻射傳熱速率；第二項表示氣體區以對流方式傳給表面區（i,j,k）的能量率；第三項表示煙氣進出氣體區（i,j,k），氣體區（i,j,k）的焓變；第四項表示氣體區（i,j,k）中燃料的發熱速率（如果該區中沒有燃料，則Qf﹦0）,等號右邊的項表示氣體區（i,j,k）的輻射熱流量的速率。

3．熱流法

在能量守恒方程式中，輻射能源Srad對總的能量平衡的影響可以表示為：

式（14）、（15）、（16）中Ka為介質的單色體積吸收系數，qx、qr、qz和qr分別為x、y、z、和r、方向上的熱流，q﹢、qˉ分別為正、負坐標方向上的熱流，E為黑體輻射能力。

七、 數值求解方法

偏微分方程式（1）~（8）均可以用一個通式表示：

在通用的微分方程中的四項是非穩定項，對流項、擴散想和源項，因為變量?可以表示各種不同的量，擴散系數Γ?和源項S ?是對特殊含義的?所特有的。

利用差分技術，可將通過（17）變為離散化的差分方程式：

式中下標E、W、N、S、T、B分別代表網格p點周圍的東、西、南、北、上、下各個方向的相鄰點。式（18）是一個代數方程式，一般可用高斯一塞德爾迭代法求解。為了加速收斂，常采用超松弛或欠松弛方法。

八、結束語

圓筒型導熱油爐的受熱面通常是由二層和三層圓形緊排螺旋盤管組成，大型導熱油爐對安全性和經濟性要求很高，僅僅知道爐膛的平均熱負荷以及爐膛出口的煙氣平均溫度顯然已不能滿足要求，因而要求更準確地計算爐內煙氣溫度的分布、受熱面壁溫的分布、爐管內導熱油的溫度分布，數學模擬法是把導熱油爐內的流體流動、化學反應和傳熱的現象統一考慮，建立描述這幾種現象的數學模型，然后用數值方法求解的一種方法。

這種方法的優點是可以提供導熱油爐內的速度場、溫度場、濃度場、熱流場等信息，是導熱油爐內各種過程的綜合描述，隨著理論上對湍流過程、燃燒過程和傳熱過程認識的加深，隨著計算機及計算技術的發展，模擬方法日瑧完善，終將成為導熱油爐設計開發的主要方法。

參考文獻：

[1]王致均等.鍋爐內過程[M].科學技術文獻出版社重慶分社,1980.

[2]E.E.卡里爾著,陳熙等譯.燃燒室與工業爐的模擬[M].科學出版社,1987.

[3]楊光烔.工業爐的近代數學模擬方法[J].石油煉制,1988, 4.

[4]Gosman  A .D.,Pun W.M.etal,Heat and Mass Transfer in Recirculating Flows. Aeadenic press,1969.

[5]S.V.帕坦卡著,張政譯.傳熱與流體流動的數值計算[M].科學出版社,1984.

[6]黃祖祺.煉油、化工管式爐輻射室傳熱計算方法的發展與展望[N].石油大學學報,1989,4.

[7]王應時等.燃燒過程數值計算[M].科學出版社,1986.

[8]Spalding D.B.,13th spmp on combustion, 1971,649.

[9]汪琦.化學工業爐的數學模擬[C].全國第三屆鍋爐壓力容器技術交流會議論文,1991.

[10]汪琦.化學工業爐的輻射傳熱模型[C].全國第三屆鍋爐壓力容器技術交流會議論文,1991.

作者簡介：

汪琦，高級工程師，1961年10月生，1983年7月畢業于華東理工大學化工機械專業，本科；1991年7月畢業于華東理工大學化工機械專業，碩士；上海熱油爐／熱風爐／熱水爐／熔鹽爐設計開發中心，總工。

手  機：13311629783     13817605032      021-62129783

郵  箱：13817605032@163.com

地  址：上海市長寧支路237弄1號504室

請手機端微信掃描或長按識別“產品手冊”、“公眾號”、“網站”等二維碼，可了解各企業系列產品內容！